Persamaan DiferensiaL Orde Satu ( bag.pertama)

Persamaan diferensial (PD) orde satu merupakan bentuk PD yang paling sederhana,
karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Jika
dalam persamaan tersebut variabel bebas dan variabel tak bebasnya berada pada sisi
yang berbeda dari tanda persamaannya, maka disebut PD yang terpisah dan untuk
menentukan selesaiannya tinggal diintegralkan. Jika tidak demikian, maka disebut
PD tak terpisah. Suatu PD orde satu yang tak terpisah biasanya dapat dengan mudah
dijadikan PD terpisah melalui penggantian (substitusi) dari salah satu variabelnya.

2.1 Persamaan diferensial terpisah
Banyak PD orde satu yang dapat direduksi ke dalam bentuk
(1) g(y)y’ = f(x)
dengan menggunakan manipulasi aljabar. Karena
y’ = dy/dx,
maka kita lebih sering menuliskan (1) sebagai

(2) g(y) dy = f(x) dx.
Karena dalam persamaan (2) variabel x dan y terpisah, yakni masing-masing berada
pada sisi yang berlainan, maka persamaan (2) disebut PD variabel terpisah, atau
secara singkat cukup dinamakan persamaan terpisah.
Dengan melakukan pengintegralan pada dua sisinya, diperoleh

(3) g( y)dy = f (x)dx + c.
Jika kita menganggap bahwa f dan g fungsi-fungsi yang kontinu, maka integral dalam
(3) ada, dan dengan mengevaluasi integral ini kita dapat memperoleh selesaian
persamaan (1).

Contoh 1
Selesaikan PD:
9yy’ + 4x = 0.
Penyelesaian:
Dengan pemisahan variabel akan diperoleh
9y dy = -4x dx.
Dengan pengintegralan pada masing-masing sisinya akan diperoleh selesaian umum...
Contoh 2
Selesaikan PD:
y’ = 1 + y2.
Penyelesaian:
Dengan pemisahan variabel dan pengintegralan akan diperoleh...
Contoh 3
Selesaikan PD:
y’ = -2xy.
Penyelesaian:
Dengan pemisahan variabel diperoleh..